[양자역학 01] particle in a box 상자 속 입자

양자역학은 필요한 예제에 대한 것만 먼저 올리고 나중에 차차 순서에 맞춰서 재게시하겠다.

 

 

 

무한 포텐셜을 가진 box에 입자 하나가 있을 때 파동함수와 에너지는 어떻게 되는지 알아보자.

 

다양한 분야에서 많이 응용하는 식이니 알아둘 필요가 있다.

 

 

슈뢰딩거 방정식 in time independent에 의해

 

이 방정식의 풀이 방법인 변분법을 이용하자.

파동함수를 하나의 변수를 가진 함수의 곱으로 가정하자

 

 

 

 

상자의 벽면에서는 potential V가 발산한다. 그때 파동함수는 0이 됨을 알아두자

경계조건은 다음과 같다.

 

 

상자 외부에서는 파동함수가 0이 됨을 알았으니 내부에 대한 식을 풀어보자.

양변을 XYZ로 나누면

이다.

 

변분법의 기법중 X,Y,Z 를 각각 쪼게서 생각하자.

각 변수끼리는 독립적이므로 

 

x 에 대한식이 변한다고 y이나 z에 대한식이 변하거나 하지 않을것이다.

그러므로 각 식들은 상수 알파 베타 감마여야 슈뢰딩거 방정식의 양변에 모순이 생기지 않는다.

오일러 식

을 이용하여 변형을 하면

 

 

우리에게 필요한 식은 파동함수이므로

 

파동함수의 경계조건을 이용하면

 

 

입자가 가지는 에너지를 알아보자

 

 

 

 

if a=b=c=L