[열 물리학 06] Sharpness of the Multiplicity Function

열 물리의 주요 과제는 안정성에 있다. 안정성을 높이려면 => exceedingly sharp peak in multiplicity and of the steep variation of that function away from the peak. 

요약: multiplicity가 아주아주아주아주 뾰족하고 급격한 함수 모양이어야한다. 즉 한가지 변수에서만 경우의 수가 몰려있다고 생각하면 된다.

 

거의 델타 함수급으로 뾰족해야한다....그럼 안정적이야

 

 

그렇기 때문에  Sharpness of the Multiplicity Function 를 알아내는 것이 우리의 중요한 과제이다.

 

우리의 관심은 N=100 같은 숫자가 아니다. N

정도로 많은 수이다. 대략 solid 정도의 양이다.

 

 

 

 

이제 log(g)에 대해서 논하고자 한다 (앞서 배운 스핀 시스템에서)

 

임을 알고 있으니 (05 장에서 언급하였음)

 

 

N 은 엄청나게 큰데 거기에 또

가지 배열인 엄청나게 큰 시스템이다.

 

그럴려고 01장에서 공부했던 stirling approximation을 이용하자!

이 식이 stirling approximation이다.

 

N이 크니깐 exp(1/(12n))은 지워도 될 정도로 작은 수이다.

 

 

갑자기 식이 많아져서 놀라겠지만 천천히 손으로 써보길 바란다.

 

우선 stirling approximation 에 의해서

가 된다.

 

그리고 각 변수의 정의는 다음과 같다.

식을 조금 정리하면

위와 같다.

 

 

 

하지만 우리가 가장 궁금했던 것은 log(g) 라는 것을 잊지말자.

 

 

솔직히... 이 정도까지 생각할지는 몰랐는데....로그함수를 변형을 많이 한다. (에바야~)

 

그래도 다음식은 계속 쓸꺼니깐 기억해둘 필요가 있다.

 

 

 

 

logg 를 구하기 위해서 정리할 수 있는 변수를 미리 정리를 하면

 

 

다시 말하자면 우리가 궁금한건 log(g)이다.

 

앞서 정리해둔 식들을 대입하면

이다. (갑자기 식이 많다고 다보려고 하지말고 직접 전개하는 것이 중요하다. 전개가 넘어가지 않을때 참고하길 바란다.)

 

 

물결표는 근사로 통해서 구했기 때문에 강조하기 위해 써넣었다.

 

위 식은 gaussian distribution 이라는 특징이 있다.(레이저를 공부할 때 가우시안이냐 아니냐에 따라 레이저의 종류가 달라진다.)

 

처음에는 g값은

이었다!! 

 

왜... 굳이 근사를 하면서까지 더 복잡한 식으로 바꾼걸까???

사실 이것은 컴퓨터 계산과 관련이 있다. 우리가 지금 당장이라도

을 공학용 계산기로 해보면

(스마트폰 말고 ~) 계산시간이 1분이상 정도 걸린다는 것을 인지할 수 있다. 요즘은 컴퓨팅 속도도 빨라지고 있지만 아직 계산시간이 인간의 수명을 넘는 문제가 종종 있기도 하다.

 

(*) 와 (**)를 비교 해보자! N=50

 

작은 수인데도 근사가 잘 되었다! 팩토리얼 계산은 오래걸리기 때문에 근사 값을 써도 문제가 없음을 볼 수 있다.

 

위 식에서 

 

최대의 1/e이 되는 지점이다.

 

 

 

이 페이지에서 할 얘기가 많다. 위 그림은 g(N=100, s)에서

 

만큼 나눈 스케일 그래프이다.

 

 (y축이

 

이 곱해져있는데 이미지 에러로 지워졌다. 원래 스케일은 너무 뾰족한 그래프이긴한데....)

 

일반적으로 스케일 변형없는 함수 값의 최대값이 1/e이 되는 s 값은

이다. 그렇다면 그 함수의 폭은

로 된다.

 

(이식은 뭘까?... 강의에서는 이거 자체가 1/e이 되는 지점의 반폭이라고 말해주고 있는데 이해가 안감.. 뭔짓을 해도 s값 그 자체가 폭아닌가?)

 

=>나름의 결론은

ex) 

개의 상황일땐

일 때 최대값의 1/e 가 되는 지점임을 알수 있었다.(울프람계산..)

 

하지만 이 수 자체가 너무 크기 때문에 다루기 어려워

값을 더 다루기 쉬워서 사용하는 것 같다.

 

정도 규모이다.

 

대략

정도의 규모와 비슷한 것을 보인다. 대략적인 반폭을 볼때는 이것이 더욱 편할 것으로 보인다.