[열 물리학 04] Multiplicity function

Enumeration of states and the Multiplicity function

(상태의 열거 그리고 중복도함수)

저번시간에

처럼 magnet moment of spin 이 N만큼 클때는 어떨까??

 

 

elementary magnet of spin을 쉽게 다루기 위해서 N is even number 라 하자.

 

 

(spin excess 역시 중요하다 1장 전반적인 내용을 내포하고 있다.)

 

<prove>

The product

 

 

의 순서를 무시하고 표현하면

 

 

 

 

N의 이항정리(binomial expansion)

 

x -> 업스핀, y->다운 스핀으로 치환을 하면.....

 

여기서 

를 multiplicity function 이라고 한다.

 

 

 

multiplicity function(중복도함수) 

 

이번 파트의 가장큰 핵심이다. 그냥 중복도함수가 뭐냐면... 다항식의 형태의 system 끼리 곱했더니 일어나는 경우의 수 정도라고 봐도된다. linear superposition 의 파동함수 여러개가 곱해졌을 때 계수들을 생각하면된다.

 

 

다음과 같이 정의를 하면....

 

 

위 식은 다음과 같이 된다.

 

 

g만 남기기 위해서 $$ \uparrow , \downarrow $$ 에 각각 1을 대입해보자!

 

이다.

 

이 말이 뭐냐면.. 스핀 N을 배열하는 모든경우의 수가 $$ 2^{N}$$ 개 라는 말이다.

 

<examples>Binary model systems 에서 스핀 수 N=10일때, g(N,s)=g(10,s) 를 구해보자.

 

출처:kittle 열물리학

 

[풀이]

 

s=2,4,6,8 .... 등등 그래프와 g(10,s) 의 값이 일치하는지 확인해보자.

 

모든 g(10,s)를 더하면 $$ 2^{10} =1024 $$ 가 나옴을 알 수있다.