[열 물리학 22] free energy 의 미분관계식

★ 미분관계식 ★

 

free energy

 

N이 고정이라면

 

열역학 항등식이 만족한다고 이전에 배웠다.

위 식은 입자 수 N 이 고정되었다.

 

그리고 전미분 정의에 의해서 dF는

이다.

 

 

결과적 위 두 식을 비교하면

이다.

 

 

(1) 압력의 첫 번째 항

energy pressure dominate in solids

 

(2) 두 번째 항

the entropy pressure

is dominant in gas and in elastic polymer(중합체) such as rubber (문제 10)

 

 

 

 

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#Maxwell Relation

 

미적분에서 미분의 순서를 바꿔도 된다고 배웠습니다. (클레로정리)

완전신기...

위 식을 Maxwell Relation 이라고 한다.

 

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# calculation of F from Z 

앞에서 배운 것들을 이용하자.

조금 정리하면

이다.이때

로 표현할 수 있으니깐 $-\tau ^2$ 을 곱하면 다음과 같다.

 

이전에 분배함수 파트에서 이런 내부함수를 다음과 같이 표현할 수 있었다.

 

 

 

결과적으로

이것이 F와 Z와의 미분관계식이다.

 

위 식을 조금 더 들여다보자.

 

the entropy must reduce to log${g_0}$ when the temperature is so low that only the $g_0$ coincident states at the lowest energy $\varepsilon _{0}$ are occupied

 

 

$\tau   \rightarrow 0$ 이므로 바닥상태이다.

 

From

 

 

열역학 제 3법칙에 의해 엔트로피는 상수로 다가갈 것이다. 그리고 g_0는 바닥상태에서의 중복도 함수로 결정하였으므로 이 수보다 더해지거나 작아지면 안된다. 그러므로

$$C=0$$

 

이어야한다.

 

결과적으로 임의의 상수가 사라지면서 F와 Z의 관계는 다음과 같다.

결국 분배함수로 얻어왔던 모든 식들은 free에너지로 표현 가능해진다!