[전자기학 07] poisson and Laplace Eq (푸아송 그리고 라플라스 방정식)

poisson and Laplace Eq.

이전시간에 보존력을 배웠으니 맥스웰 방정식에 의하여 푸아송 방정식을 유도할 수있다. 

이때 값이 0이 되면 라플라스 방정식이라고 한다.

 

우리는 이전에 스칼라 퍼텐셜을 유도했었다. 그 값은

이것이 푸아송 방정식을 충족시킬까? 그것이 궁금하다.

 

 

 

이전에도 쓰는 방식인 쓸때 없는 term을 만들어서 0으로 보내는 방법으로 1.17식이 푸아송 방정식인지 확인해보는 방향으로 전개하고자한다.

 

이것을 우리는 그냥 a -potential 이라고 하겠다. 큰의미는 없다.

 

 

 

 

유도한 분모 term을 대입하면

 

 

 

다변수 테일러전개

 

 

 

위 적분의 0차 term만 들여다보면 4pi가 나온다.

 

이다.

이것을 증명해보자.

 

 

 

즉 potential 의 0차 term은

푸아송 방정식을 만족한다.

 

하지만 의문이 드는데 고차 term은 자연스럽게 무시가 가능할까?? 처음 식으로 돌아오자.

원래 알았어야 할 식은 다음과 같다. 0차 term에 대해서는 알게 되었으니.. other term을 적분을 하면 어떻게 될까?

source 의 전개는 다변수 테일러전개를 이용해야하는데.. 왜 이렇게되는지를 모르겠네??

이 식을 유도하기 위해서는 구면좌표계로 치환해줘야 할 필요가 있다. (꽤나 오래 걸린 작업이다.)

 

 

Q: why 1차 term은 사라지며 , 2차 term에 생기는 1/6 은 무엇인가??

 

 

1차 term을 보자

 

 

 

 

 

 

일반성을 잃으면 안되는 것을 또 추가적으로 증명해야 하지만 그렇게 되면 계산이 너무나도 어려워지므로 이때

로 선택하고 풀어보자. (훗날 일반화 내용도 추가해보겠다.)

그런데

이다.

홀수 함수 대칭이므로 0이 됨을 알 수 있다.

 

 

 

 

2차 term 

 

 

그때

 

2차 term 역시 잭슨에서 제시한 식과 동일하게 전개되었다.

 

적분 후 식은 위와 같다.

 

 

우리가 궁금한 적분의 영역을 생각하면 a->0 으로 가면

결론적으로 poisson equation 을 얻어낼 수 있다.

즉

일반화하면

이다.