[전자기학 09] uniqueness of the solution with Dirichlet or Neumann Boundary condition (유일성 정리, 경계조건)

 

이번 챕터에서는 poisson equation

의 solution 이 uniqueness하길 원한다.

 

 

 

Dirichlet or Neumann Baundary condition

 

-> Diricrlet Boundary condition

 

-> Neumann Boundary condition

 

위 조건이 둘 다 정의되면 Cauchy boundary conditions 이라고 한다. 하지만 문제를 해결할 때 이 경우가 더 어려워진다고 한다. 둘 중에 하나만 나오길 기도하자.

 

우리는 임의로 두 솔루션 $\Phi _1 , \Phi _2$ 우리는 임의로 두 솔루션 

then

inside V, and U=0 or $\frac{ \partial U }{ \partial n} =0$ on for Dirichlet and Neumann boundary conditions, respectively

 

 

 

From Green’s first identity

이전 포스팅에서 공부한 그린정리를 참고하라

이다.

 

 

만약

이라고 하자.

 

 

 

위에서 유도한

로 부터 위 식에 대입하면

 U=0 이거나 $\frac{ \partial U }{ \partial n} =0$ 이기만 하면

이다. 이것은 각각 두 가지 경계조건에서$\nabla U =0 $ 임을 암시한다. 이것은 V 내부에서 U is constant 라는 결론이 도출된다.

 

 

 

(1) Dirichlet U=0

(2)  Neumann  $\frac{ \partial U }{ \partial n} =0$ 역시 $\nabla U =0 $ 이 성립한다.

하지만 U 자체가 정의된 것이 아니고  $\nabla U =0 $ 이므로 U 는 임의의 상수가 될 것임을 알 수 있다. (아래식을 다시 미분하면 검토가능)

결과적으로 U=(임의의 상수) 이다. 임의의 상수는 계산에 큰 영향을 주지 않으므로  Neumann 경계역시 unique solution 을 갖는다.